Система биконических координат, по-видимому, впервые была предложена в работе [1], в которой ее применение было связано с решением задачи о несущей способности деформируемых уплотнений в аппаратах сверхвысокого давления, принцип работы которых основан на сжатии и удержании твердотельной среды в центральном реакционном объеме камер. Поясним, откуда возникла потребность в новой системе координат.
На рис. 1 а) схематически представлен кольцевой запирающий слой уплотнения в аппарате типа «конак» (кольцевые наковальни), расположенный между усеченными кольцевыми выступами матриц аппарата, выполненных вокруг центральных реакционных углублений. Для рассмотрения такого слоя естественно использовать обычную цилиндрическую систему координат ρθz с направлением координатных осей так, как показано на  рисунке.

Рис. 1. Схематическое изображение в аксиальном разрезе запирающих слоев уплотнений реакционного объема в камерах сверхвысокого давления типа «конак» - а) и типа «белт» - б). Тонкими прерывистыми линиями обозначены контуры силовых элементов конструкций. Полужирные линии со стрелками – оси предлагаемых систем координат.
На рис. 1 б) схематически изображен верхний запирающий слой деформируемого уплотнения в аппарате типа «белт», расположенный между коническими поверхностями конструктивных элементов аппарата, пуансоном и матрицей. В этом случае для математического описания задачи о переходе в пластическое состояние под действием внутреннего давления тонкого слоя материала прокладки с учетом граничных условий удобно было использовать систему криволинейных ортогональных координат, имеющую полярную ось симметрии вдоль оси симметрии камеры, но с направлением одной из осей координатной системы параллельно образующим конусных поверхностей в аппарате; на рис. 1 б) одна из координатных осей, ось R, направлена под углом φ к полярной оси Z. Эта новая система координат была в [1] обозначена как rθh(φ) и названа биконической по форме координатных поверхностей. Чтобы охарактеризовать ее особенности, сравним ее с другими широко применяемыми полярными системами координат в трехмерном пространстве, цилиндрической и сферической.
Криволинейные координаты отличаются друг от друга главным образом формой координатных поверхностей. Их конкретное применение может быть связано с упрощением, например, записи граничных условий для исследуемых функций физических величин, подчиняемым определенным дифференциальным уравнениям. На рис. 2 показаны формы координатных поверхностей для цилиндрической, сферической и биконической систем координат. Координатные поверхности новой системы координат  и  представляют собой круговые конусы, которые в отличие от конусных координатных поверхностей сферической системы, сдвигаются в пространстве «параллельно» друг другу.

Рис. 2. Схематическое изображение координатных поверхностей цилиндрической, сферической и биконической систем координат.
Именно это обстоятельство позволило применить биконическую систему координат для упрощенной записи граничных условий в камере типа «белт» при рассмотрении тонкого слоя материала уплотнения между ее конструктивными элементами. Для описания напряженного состояния материала уплотнения в [1] использовались дифференциальные уравнения равновесия, полученные для компонентов напряжений в биконической системе координат, уравнение пластичности и граничные условия для напряжений. Новые дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния в биконических координатах приведем без вывода:
 ,

Здесь  и  - компоненты тензора упругих напряжений. Решение задачи было получено в аналитической виде.
Представим биконическую систему координат более подробно. На рис. 3 с общим началом в точке О изображены совместно прямоугольная декартова xyz, цилиндрическая ρθz и биконическая rθh(φ) системы ортогональных координат, угол φ в биконической системе координат играет роль параметра. В плоскости рисунка расположены оси Z, ρ, R и H, ось X находится перед плоскостью рисунка, а ось Y – за плоскостью рисунка. Полярный угол θ отсчитывается против движения часовой стрелки от оси X. Штриховыми линиями обозначены все проекции произвольно взятой точки М на координатные оси. Заметим, что для однозначности записи точек пространства в биконической системе координат можно принять ограничения: , , ,  и . (При φ = π/2 биконическая система координат превращается в цилиндрическую).

Рис. 3. Биконическая система ортогональных координат rθh(φ) в пространстве прямоугольной декартовой xyz и цилиндрической ρθz систем координат с общим началом в точке О.
Используя указанные проекции, можно из рисунка получить следующие формулы преобразования координат к биконической системе.
Переход от цилиндрической системы координат:
r = r sinj - h cosj ,
z = r cosj + h sinj ,
q = q ,
Переход от прямоугольной декартовой системы координат:
x = (r sinj - h cosj) cosq ,
y = (r sinj - h cosj) sinq ,
z = r cosj + h sinj .
Последние формулы позволяют вычислить отличные от нуля компоненты метрического тензора, традиционно представляемые в справочной литературе [2] для различных систем криволинейных координат и используемые в общих формулах математического анализа при вычислении масштабных множителей элементов длин, площадей или объема. Мы будем иметь:
,
,
.
И, следовательно, при преобразовании координат якобиан, характеризующий изменение элементарного объема при переходе от координат rθh(φ) к декартовым координатам xyz будет равен:
.
Чтобы продемонстрировать определенные удобства применения биконической системы координат, вычислим площадь боковой поверхности кругового конуса и объем волчка, показанных на рис. 4 и рис. 5, соответственно. Волчком в нашем случае будет тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы. Возможные варианты волчков, в случае если они имеют одну и ту же высоту (гипотенузу образующих треугольников), но различные значения параметра φ, схематически представлены на рис. 6.
Вычисления должны показать пример записи элементов площади и объема на основе полученных выше выражений и относительную простоту достижения результатов.

Рис. 4. Расположение осей биконической системы координат для вычисления площади боковой поверхности конуса. Оси координат располагаются так, чтобы боковая поверхность конуса являлась частью координатной поверхности .
.
Рис. 5. Изображение волчка, образующие конусных поверхностей которого в аксиальном сечении пересекаются под прямым углом. Для вычисления объема такого тела начало координат биконической системы располагается в нижней вершине волчка, а направление осей делает его конусные поверхности координатными.

Рис. 6. Схематическое изображение различных волчков, образованных вращением прямоугольных треугольников вокруг общей гипотенузы. В этом случае одна и та же сфера описывает все волчки. (Очевидно, что симметричный волчок, образованный вращением равнобедренного треугольника, среди прочих будет обладать наибольшим собственным объемом).
В соответствии с обозначениями рис. 4 для вычисления площади боковой поверхности конуса S мы можем записать:
.
Интегрируя, получим:
,
где  - радиус основания кругового конуса, который мы ввели для приведения формулы площади боковой поверхности конуса к привычному виду.
Для вычисления объема волчка V, представленного на рис. 5, мы можем записать:
.
Интегрируя далее, получим:
.
Или после преобразований результат вычислений можно записать в более привычном виде (без тригонометрических функций):
,
где  - радиус общего основания круговых конусов, составляющих волчок, а  - высота волчка вдоль оси симметрии (суммарная высота круговых конусов, составляющих волчок). Заметим, что конечная формула объема  справедлива не только для волчков, образованных вращением прямоугольных треугольников, но и для всех волчков с прямолинейными образующими конусных поверхностей. Отсюда можно предположить, что, используя не ортогональную (косоугольную) биконическую систему координат, у которой оси R и H не перпендикулярны друг к другу, при вычислении объема такого волчка, можно будет получить ту же конечную формулу.
Отметим также интересный факт, касающийся тел, ограниченных координатными поверхностями различных систем криволинейных ортогональных координат. Оказывается, что объемы вписанных последовательно друг в друга симметричного волчка, шара и цилиндра, представленных на рис. 7, имеют простое целочисленное отношение – 1 : 2 : 3. Целочисленное отношение объемов шара и описанного около него цилиндра, 2 : 3, было получено впервые Архимедом. (На могиле Архимеда поставлен памятник с изображением шара и такого цилиндра).

Рис. 7. Симметричный волчок (с параметром φ = π/4), шар и цилиндр, которые последовательно могут быть вписаны друг в друга. Их объемы при этом относятся между собой, как 1 : 2 : 3.
Важной особенностью новой рассматриваемой системы координат является наличие в ней параметра φ. Поскольку при угле φ, равным π/2, биконическая система координат переходит в цилиндрическую систему координат, то ее использование дает возможность проанализировать влияние геометрического фактора на конечные решения определенных задач, полученных в цилиндрической системе. Поясним это на простом примере – задаче о распределении температуры вдоль тонкой трубки с теплоизолированными боковыми поверхностями и с заданными на ее концах значениями температуры. Пусть трубка равной толщины имеет длину ℓ и на ее концах поддерживаются постоянные значения температуры Т(0) = 0 и Т(ℓ) = , при этом, коэффициент теплопроводности материала трубки λ принимается постоянным. На рис. 8 изображены два варианта задачи: а) - для обычной цилиндрической трубки, представленной в цилиндрической системе координат, и б) - для конической трубки, представленной в биконической системе координат с параметром φ.

Рис. 8. Изображение в аксиальном разрезе тонкостенных трубок цилиндрической и конической форм в системах координат, соответственно, а) – цилиндрической и б) – биконической. Трубки ограничены координатными поверхностями.
Для варианта а) зависимость температуры вдоль трубки от координаты z должна быть линейной:
.               (1)
Это решение соответствует дифференциальному уравнению теплопроводности стационарной одномерной задачи, записанному для теплового потока вдоль оси Z:
,
с заданными нами граничными условиями и при отсутствии внутренних тепловых источников.
Для варианта б) в биконической системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности, записанное для теплового потока вдоль оси H, будет иметь вид:
,
где  - средний радиус нашей конической трубки у ее основания. (Уравнение можно вывести, рассматривая стационарный тепловой поток, проходящий вдоль конической трубки, или получить из общего стационарного уравнения теплопроводности без внутренних тепловых источников ). Решая это уравнение с учетом указанных граничных условий, мы можем получить после преобразований следующую формулу для распределения температуры вдоль сужающейся трубки:
,   sinφ ≠ 0, . (2)
Мы видим, что линейная зависимость (1) температуры от высоты в трубке здесь меняется на зависимость, имеющую логарифмический характер. При выравнивании трубки, когда φ → π/2 и ctgφ → 0, при замене логарифмов в числителе и знаменателе формулы первыми членами их разложения в ряд, формула (2) переходит в формулу (1); что и должно быть. Малые изменения граничных условий в рассматриваем случае не вызывают больших изменений решения. (Равнозначность формул получается и при ).
Мы привели примеры использования биконической системы координат. Кажется очень странным, что до сих пор никто кроме автора не применял ее и об этой простой системе координат нет даже какого-либо упоминания в справочной литературе, а также на математических или энциклопедических сайтах интернета.
В заключении автор хотел бы выразить благодарность В. В. Бражкину за всестороннее обсуждение представленной работы.

Николаев Н. А.
Литература

1. Николаев Н.А., «Биконическая система координат и уравнения равновесия для анализа напряженного состояния уплотнения в аппаратах высокого давления». Институт физики высоких давлений РАН, Ежегодник, том 5, с. 146 – 152, 1998.
2. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике (для научных сотрудников и инженеров), М., Наука, 832 с., 1973.